Calcule a integral definida.
integral0^1 x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral definida: integral0^1 x e^-2 x , dx. Esse tipo de integral está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada quando estamos lidando com o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, temos x e^-2x. Vamos escolher:
  • u = x (porque ao derivar, simplifica a expressão)
  • dv = e^-2x dx (a outra parte que fica mais fácil de integrar)

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u = x, temos du = dx
  • Integrando dv = e^-2x dx, temos v = integral e^-2x dx
Para integrar e^-2x, lembramos que integral e^ax dx = 1a e^ax. Assim:
v = 1-2 e^-2x = -12 e^-2x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x e^-2x dx = uv |0^1 - integral0^1 v du
Substituindo u, v, du:
= ( x cdot (-12 e^-2x) ) |0^1 - integral0^1 (-12 e^-2x) dx

Passo 6

Vamos calcular o primeiro termo:
( -12 x e^-2x ) |0^1 = ( -12 cdot 1 cdot e^-2 cdot 1 ) - ( -12 cdot 0 cdot e^-2 cdot 0 ) = -12 e^-2 - 0 = -12 e^-2

Passo 7

Agora, calculamos a segunda integral:
- integral0^1 (-12 e^-2x) dx = 12 integral0^1 e^-2x dx
Integrando e^-2x:
integral e^-2x dx = 1-2 e^-2x + C = -12 e^-2x + C
Então:
12 [ -12 e^-2x ] |0^1 = 12 ( -12 e^-2 cdot 1 + 12 e^-2 cdot 0 ) = 12 ( -12 e^-2 + 12 cdot 1 ) = 12 ( 12 - 12 e^-2 ) = 14 - 14 e^-2

Passo 8

Agora, juntamos os dois resultados:
-12 e^-2 + ( 14 - 14 e^-2 ) = 14 - 12 e^-2 - 14 e^-2 = 14 - 34 e^-2

Resposta

Então, o valor da integral definida é:
integral0^1 x e^-2x dx = 14 - 34 e^-2

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