Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral definida para resolver:
Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas, que são usadas para calcular a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de integração e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que estamos integrando é:
Podemos dividir essa fração em duas partes:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais:
Isso facilita a resolução, porque podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
A integral de uma constante $ \frac{1}{2} $ em relação a $ x $ é simplesmente:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do $ C $.
Passo 5
Agora, a segunda integral:
Aqui, usamos a regra de integração para funções trigonométricas. A integral de $ \cos(kx) $ é $ \frac{\sin(kx)}{k} $. Então:
Passo 6
Agora, juntamos as duas integrais avaliadas entre os limites de $ -\frac{\pi}{3} $ e $ \frac{\pi}{3} $:
Isso significa que precisamos calcular cada expressão nos limites superiores e inferiores e depois subtrair.
Passo 7
Primeiro, avaliamos $ \frac{1}{2}x $ nos limites:
Passo 8
Em seguida, avaliamos $ \frac{\sin(2x)}{4} $ nos mesmos limites:
Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, então:
E sabemos que $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Passo 9
Agora, juntamos os resultados das duas partes:
Essa é a área sob a curva definida pela integral original entre $ -\frac{\pi}{3} $ e $ \frac{\pi}{3} $.
Resposta
O valor da integral definida é: