Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando:
. Perceba que no numerador temos
e no denominador
. Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva
, já que sua derivada está relacionada a
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição $ u = \cos(x) $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Isso significa que $ \sin(x) , dx = -du $.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $:
Passo 5
Vamos integrar $ -\int u^{-2} , du $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original $ x $, lembrando que $ u = \cos(x) $:
Então, a antiderivada é $ \sec(x) + C $.
Passo 7
Como estamos calculando uma integral definida de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $, vamos aplicar os limites de integração:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada termo:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é: