Calcule a integral definida.
integral0^pi4 sen(x)cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral definida integral0^pi4 sin(x)cos^2(x) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: sin(x)cos^2(x). Perceba que no numerador temos sin(x) e no denominador cos^2(x). Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva cos(x), já que sua derivada está relacionada a sin(x).

Passo 3

Vamos fazer a substituição $ u = \cos(x) $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = cos(x)
Isso significa que $ \sin(x) , dx = -du $.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de $ u $:
u

Passo 5

Vamos integrar $ -\int u^{-2} , du $:
-integral u^-2 , du
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original $ x $, lembrando que $ u = \cos(x) $:
x
Então, a antiderivada é $ \sec(x) + C $.

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $, vamos aplicar os limites de integração:
0

Passo 8

Agora, vamos calcular cada termo:
sec( pi4 ) = 1cos( pi4 ) = 1raiz22 = raiz2
sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
raiz2 - 1

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