Calcule a seguinte integral iterada integral0^1 d y integralraizy^1 raiz1-x^3 d x.

Passo 1

A integral em questão é
I=integral0^1!dyintegralraiz y^1raiz1-x^3,dx
O conteúdo principal é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e uso de substituição para calcular a integral resultante.

Passo 2

A região de integração no plano (x,y) é dada por
0<= y<=1, raiz y<= x<=1
Inverter a ordem significa expressar y em função de x: para cada x entre 0 e 1, y vai de 0 até x^2. Assim
I=integralx=0^1!dxintegraly=0^x^2raiz1-x^3,dy

Passo 3

Agora, como raiz1-x^3 não depende de y, a integral interna é simples:
integral0^x^2!dy= x^2,
logo fica
I=integral0^1x^2raiz1-x^3,dx

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos a substituição
t=1-x^3Rightarrow dt=-3x^2,dxRightarrow x^2,dx=-tfrac13dt
Quando x=0, t=1; quando x=1, t=0. Então
I=integralt=1^0raiztl(-tfrac13r)dt=tfrac13integral0^1t^1/2,dt

Passo 5

E essa integral é
tfrac13cdotl[tfract^3/23/2r]0^1=tfrac13cdottfrac23=tfrac29

Resposta

29

Exercícios relacionados