Calcule a seguinte integral iterada
.
Passo 1
A integral em questão é
O conteúdo principal é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e uso de substituição para calcular a integral resultante.
Passo 2
A região de integração no plano (x,y) é dada por
Inverter a ordem significa expressar y em função de x: para cada x entre 0 e 1, y vai de 0 até x^2. Assim
Passo 3
Agora, como
não depende de y, a integral interna é simples:
logo fica
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
Quando x=0, t=1; quando x=1, t=0. Então
Passo 5
E essa integral é