Calcule a integral definida.
integral-pi4^pi4 tan (x) d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de tan(x) no intervalo de -pi4 até pi4. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas e propriedades de funções ímpares. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função tan(x) e entender as propriedades de simetria das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tan(x) é uma função ímpar. Isso significa que tan(-x) = -tan(x). Funções ímpares têm uma propriedade especial: quando você integra uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é sempre zero.

Passo 3

Para confirmar isso, podemos calcular a antiderivada de tan(x). Sabemos que:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites da integral definida:
integral-pi4^pi4 tan(x) , dx = [ -ln|cos(x)| ]-pi4^pi4

Passo 5

Calculamos os valores nos limites:
- ln|cos(pi4)| - (-ln|cos(-pi4)|)
Como cos(-x) = cos(x), temos:
- ln|cos(pi4)| + ln|cos(pi4)| = 0

Resposta

A integral definida é igual a 0.

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