É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
A série dada é
. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar aplicar o teste da raiz n-ésima (teste de Cauchy) para decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Para usar o teste da raiz, definimos o termo geral
. O teste da raiz diz que se
existir e for menor que 1, a série converge absolutamente.
Passo 3
Calculamos a raiz k-ésima de
:
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
:
e
.
Portanto
e
Portanto
Isso mostra que, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.
Passo 5
Como a série converge absolutamente, concluímos que a série original é convergente.
Resposta
A série é convergente.