É convergente ou divergente? Justifique.
sumk=1^infty e^1kk^k

Passo 1

A série dada é sumk=1^infty e^1/kk^k. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar aplicar o teste da raiz n-ésima (teste de Cauchy) para decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Para usar o teste da raiz, definimos o termo geral ak = e^1/kk^k. O teste da raiz diz que se L = limktoinfty raiz[k]ak existir e for menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a raiz k-ésima de ak:
raiz[k]ak = gl(e^1/kk^kgr)^1/k = (e^1/k)^1/k(k^k)^1/k = e^1/k^2k

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ktoinfty:
limktoinfty raiz[k]ak = 0 < 1
e
.
Portanto
Isso mostra que, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Passo 5

Como a série converge absolutamente, concluímos que a série original é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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