Calcule a integral definida.
integral1^e ln (x^2)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^e ln(x^2)x,dx. O conteúdo é integração de funções logarítmicas, e vamos usar propriedades de log e substituição para resolver.

Passo 2

Usamos a identidade de logaritmo ln(x^2) = 2ln x para simplificar o integrando. Substituindo na integral, obtemos
I = integral1^e ln(x^2)x,dx = 2integral1^e ln xx,dx

Passo 3

Fazemos a substituição t = ln x, logo dt = dxx. Quando x=1, t=0; quando x=e, t=1. Assim:
I = 2integral0^1 t,dt

Passo 4

Integramos em relação a t:
2integral0^1 t,dt = 2[t^22]0^1 = 2cdot12 - 0 = 1

Resposta

1

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