É convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

O problema pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty3^nl(tfracnn+1r)^n^2. O conteúdo aqui é série de termos positivos e vamos usar o teste da raiz para decidir convergência.

Passo 2

No teste da raiz, a gente calcula o limite
L=limntoinftyraiz[n]an,
onde an=3^nl(tfracnn+1r)^n^2. Se L<1 a série converge, se L>1 diverge e se L=1 fica inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular
raiz[n]an=raiz[n]3^n;raiz[n]l(tfracnn+1r)^n^2 =3;l(tfracnn+1r)^n
Para entender l(tfracnn+1r)^n, usamos o fato de que
limntoinftynlnl(1-tfrac1n+1r)=limntoinftynl(-tfrac1n+1+o(tfrac1n)r)=-1
e, portanto,
limntoinftyl(tfracnn+1r)^n=e^-1

Passo 4

Combinando, ficamos com
L=3,e^-1=3e>1
Como L>1, o teste da raiz garante que a série é divergente.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite da raiz-n-ésima dos termos é 3/e>1.

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