Calcule a integral definida.
integral-1^1 2 y^3 raiz1+3 y^4 d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral-1^1 2 y^3 raiz1+3 y^4 , dy. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde precisamos encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções ímpares e pares, que vão facilitar nosso cálculo sem precisar fazer uma integração complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: 2 y^3 raiz1+3 y^4.
  • Função Ímpar vs. Função Par:
    • Uma função f(y) é ímpa se f(-y) = -f(y).
    • É par se f(-y) = f(y).
Vamos verificar:
  1. y^3 é uma função ímpar porque (-y)^3 = -y^3.
  2. raiz1 + 3 y^4 é uma função par porque raiz1 + 3 (-y)^4 = raiz1 + 3 y^4.
Quando multiplicamos uma função ímpar por uma função par:
Ímpar times Par = Ímpar ÍÍ
Então, 2 y^3 raiz1+3 y^4 é uma função ímpar.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem, como [-a, a], é igual a zero. Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Então, já que nossa função é ímpar e o intervalo de integração é [-1, 1], podemos concluir que:
integral-1^1 2 y^3 raiz1+3 y^4 , dy = 0

Resposta

O valor da integral definida é 0.

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