Calcule a integral definida.
integral1^pi^3^3 z^25+z^3 d z

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral1^pi^3^3 z^25+z^3 , dz. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos usar substituição, que é uma técnica que facilita a integração transformando a integral em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os limites de integração. Calculando:
1^pi = 1 e 3^3 = 27
Então, a integral fica:
integral1^27 z^25 + z^3 , dz

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 5 + z^3
Então, derivando ambos os lados em relação a z:
dudz = 3z^2 Rightarrow dz = du3z^2

Passo 4

Substituindo u e dz na integral original, temos:
integral z^2u cdot du3z^2 = integral 13u , du = 13 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u é o logaritmo natural de u. Então:
13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C
Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Substituindo os limites na expressão de u:
u(1) = 5 + 1^3 = 6 e u(27) = 5 + 27^3 = 5 + 19683 = 19688

Passo 7

Agora, aplicamos os limites na antiderivada:
13 ln|19688| - 13 ln|6| = 13 (ln19688 - ln6) = 13 ln(196886)

Resposta

A integral definida vale:
13 ln(196886)

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