Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que contêm raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável $ u $ da seguinte forma:
Isso é útil porque a expressão dentro da raiz quadrada é uma função linear de $ t $, e ao substituir, simplificamos a integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para encontrar $ du $:
Essa relação nos permitirá substituir $ dt $ na integral original.
Passo 4
Vamos substituir $ u $ e $ dt $ na integral original:
Simplificando os limites de integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ u^{1/2} $:
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante $ C $.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Calculando $ 16^{3/2} $ e $ 4^{3/2} $:
Então:
Resposta
A integral definida é
, ou aproximadamente 31,11.