Calcule a integral definida.
integral0^2 5 raiz6 t+4 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^2 5 raiz6 t + 4 , dt. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que contêm raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável $ u $ da seguinte forma:
u
Isso é útil porque a expressão dentro da raiz quadrada é uma função linear de $ t $, e ao substituir, simplificamos a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para encontrar $ du $:
u
Essa relação nos permitirá substituir $ dt $ na integral original.

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ dt $ na integral original:
u
Simplificando os limites de integração:
dt
Então, a integral fica:
integral0^2 5 raiz6 t + 4 , dt = 5 integralu(0)^u(2) raizu cdot du6

Passo 5

Agora, vamos integrar $ u^{1/2} $:
u^1/2
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante $ C $.

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
56 [ 23 u^3/2 ]4^16 = 56 cdot 23 (16^3/2 - 4^3/2)
Calculando $ 16^{3/2} $ e $ 4^{3/2} $:
16^3/2
Então:
4^3/2

Resposta

A integral definida é 2809, ou aproximadamente 31,11.

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