Considere as regiões
e
(i) Determine a área da região
.
(ii) Calcule o volume dos sólidos de revolução
e
obtidos pela rotação da região
em torno dos eixos
e
, respectivamente.
(ii) Calcule o volume dos sólidos de revolução
Passo 1
O enunciado define duas regiões em
:
pede (i) a área de
e (ii) os volumes dos sólidos
e
obtidos ao girar
em torno dos eixos
e
. Vamos usar integrais duplas para a área e métodos de cascas cilíndricas e discos para os volumes.
Passo 2
Mostramos que a condição
é sempre satisfeita em
, de modo que
. Em
temos
e para que haja pontos é preciso
. Logo em coordenadas
o domínio é
Passo 3
A área de
é
Calculando,
Passo 4
Para o sólido
(rotação em torno do eixo
) usamos o método das cascas cilíndricas: uma faixa horizontal em
tem raio
e comprimento em
igual a
. Assim
Calculando,
logo
Passo 5
Para o sólido
(rotação em torno do eixo
) usamos discos (anéis) de raio externo
e interno
. Então
Calculando,
logo
Resposta
Área de
:
Volume de (rotação em torno de
):
Volume de (rotação em torno de
):
Volume de
Volume de