Considere as regiões
R1:=(x, y) in R^2 mid x^2-3 x <= y, 3 y-y^2 <= x, y <= x
e
R2:=(x, y) in R^2 mid x <= 3 y-y^2, y <= x
(i) Determine a área da região R1.
(ii) Calcule o volume dos sólidos de revolução S1 e S2 obtidos pela rotação da região R2 em torno dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

O enunciado define duas regiões em R^2:
R1=(x,y)mid x^2-3x<= y,;3y-y^2<= x,;y<= x,
R2=(x,y)mid x<= 3y-y^2,;y<= x,
pede (i) a área de R1 e (ii) os volumes dos sólidos S1 e S2 obtidos ao girar R2 em torno dos eixos x e y. Vamos usar integrais duplas para a área e métodos de cascas cilíndricas e discos para os volumes.

Passo 2

Mostramos que a condição x^2-3x<= y é sempre satisfeita em R2, de modo que R1=R2. Em R2 temos
y<= x<= 3y-y^2,
e para que haja pontos é preciso y<= 3y-y^2iff 0<= y<= 2. Logo em coordenadas (x,y) o domínio é
0<= y<= 2, y<= x<= 3y-y^2

Passo 3

A área de R1=R2 é
integral duplaR2dA =integraly=0^2l[(3y-y^2)-yr],dy =integral0^2(2y-y^2),dy
Calculando,
integral0^2(2y-y^2),dy =l[y^2-tfrac13y^3r]0^2 =4-tfrac83 =tfrac43

Passo 4

Para o sólido S1 (rotação em torno do eixo x) usamos o método das cascas cilíndricas: uma faixa horizontal em y tem raio y e comprimento em x igual a (3y-y^2)-y=2y-y^2. Assim
Vx =2piintegral0^2yl(2y-y^2r),dy =2piintegral0^2(2y^2-y^3),dy
Calculando,
integral0^2(2y^2-y^3),dy =l[tfrac23y^3-tfrac14y^4r]0^2 =tfrac163-4 =tfrac43,
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Vx =2picdottfrac43 =tfrac8pi3

Passo 5

Para o sólido S2 (rotação em torno do eixo y) usamos discos (anéis) de raio externo Rrm ext=3y-y^2 e interno Rrm int=y. Então
Vy =piintegral0^2l[(3y-y^2)^2-y^2r],dy =piintegral0^2(9y^2-6y^3+y^4-y^2),dy =piintegral0^2(8y^2-6y^3+y^4),dy
Calculando,
integral0^2(8y^2-6y^3+y^4),dy =l[tfrac83y^3-tfrac32y^4+tfrac15y^5r]0^2 =5615,
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Vy =56pi15

Resposta

Área de R1: 43
Volume de S1 (rotação em torno de x): 8pi3
Volume de S2 (rotação em torno de y): 56pi15

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