Justifique todas as suas respostas.
Calcule a integral iterada integral1^2 d z integral0^2 z d x integral0^ln x x e^-y d y.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral iterada
integral1^2 !dz integral0^2z !dx integral0^ln x x e^-y ,dy
Isso é cálculo de integrais iteradas em várias variáveis. Para resolver, vamos usar antiderivadas para integrar em cada variável na ordem y → x → z.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em relação a y. Como x é constante nesse passo, fatoramos x:
integral0^ln x x e^-y ,dy = x integral0^ln x e^-y ,dy
A antiderivada de e^{-y} é -e^{-y}, então

Passo 3

x integral0^ln x e^-y ,dy = x l[-e^-yr]0^ln x = xl(-e^-ln x + e^0r)
Usando e^{-\ln x}=1/x e e^0=1, temos

Passo 4

xl(-tfrac1x + 1r) = -1 + x = x - 1
Portanto a integral interna em y é x-1.

Passo 5

Agora integramos em relação a x no intervalo [0,2z]:
integral0^2z (x - 1) ,dx = [x^22 - x]0^2z = (2z)^22 - 2z = 2z^2 - 2z

Passo 6

Por fim, integramos em relação a z de 1 a 2:
integral1^2 (2z^2 - 2z) ,dz = [2z^33 - z^2]1^2 = l(163 - 4r) - l(23 - 1r) = 43 + 13 = 53

Resposta

tfrac53

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