Justifique todas as suas respostas.
Calcule a integral iterada
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Calcule a integral iterada
Passo 1
A questão pede para calcular a integral iterada
Isso é cálculo de integrais iteradas em várias variáveis. Para resolver, vamos usar antiderivadas para integrar em cada variável na ordem y → x → z.
Passo 2
Vamos primeiro integrar em relação a y. Como x é constante nesse passo, fatoramos x:
A antiderivada de e^{-y} é -e^{-y}, então
Passo 3
Usando e^{-\ln x}=1/x e e^0=1, temos
Passo 4
Portanto a integral interna em y é x-1.
Passo 5
Agora integramos em relação a x no intervalo [0,2z]:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a z de 1 a 2: