Calcule a solução geral na forma de uma serie centrada no ponto singular regular
, e com
, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as rafaes indiciais são duplas, sendo necessario calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos tres procedimentos abordados na seção 2.2.3):
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
por séries de Frobenius em torno de
, sendo
um ponto singular regular e as raízes indiciais duplicadas. Vamos usar o método de Frobenius e depois obter a segunda solução independente por redução de ordem (ou equivalentes).
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma normalizada: dividindo por
obtemos
Como é um ponto singular regular em
, assumimos
Passo 3
Para encontrar o expoente
, montamos a equação indicial. Substituindo apenas o termo
na parte dominante (em
) achamos
Passo 4
Agora obtemos o recíproco de recorrência para
. Após agrupar potências de
, chega-se a
Com
isso vira
Logo, por iteração,
Passo 5
A primeira solução não singular é então
Passo 6
Para a segunda solução, usamos redução de ordem (ou o método de derivação em
). O resultado padrão é
onde se mostra que os coeficientes
podem ser escritos em termos dos números harmônicos
. Um forma compacta é
com a convenção
.
Passo 7
A solução geral fica então
Passo 8
Pronto! Temos o par de soluções linearmente independentes em série de Frobenius em torno de
, válidas para
.
Resposta
onde