Calcule a solução geral na forma de uma serie centrada no ponto singular regular x=0, e com x>0, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as rafaes indiciais são duplas, sendo necessario calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos tres procedimentos abordados na seção 2.2.3):
4 x^2 y^prime prime+(1+4 x) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO 4x^2y''+(1+4x)y=0 por séries de Frobenius em torno de x=0, sendo x=0 um ponto singular regular e as raízes indiciais duplicadas. Vamos usar o método de Frobenius e depois obter a segunda solução independente por redução de ordem (ou equivalentes).

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma normalizada: dividindo por 4x^2 obtemos
y'' + gl(14x^2+1xgr)y = 0
Como é um ponto singular regular em x=0, assumimos
y(x)=sumn=0^infty anx^n+r, a0neq0

Passo 3

Para encontrar o expoente r, montamos a equação indicial. Substituindo apenas o termo n=0 na parte dominante (em x^r-2) achamos
a0l[r(r-1)+tfrac14r]=0 Longrightarrow (r-tfrac12)^2=0 Longrightarrow r=tfrac12 (raiz dupla)

Passo 4

Agora obtemos o recíproco de recorrência para n>=1. Após agrupar potências de x^n+r, chega-se a
anl[(n+r)(n+r-1)+tfrac14r]+an-1=0
Com r=tfrac12 isso vira
an,n^2 + an-1=0 Longrightarrow an=-an-1n^2
Logo, por iteração,
an = (-1)^na0(n!)^2

Passo 5

A primeira solução não singular é então
y1(x)=x^1/2sumn=0^infty (-1)^nx^n(n!)^2

Passo 6

Para a segunda solução, usamos redução de ordem (ou o método de derivação em r). O resultado padrão é
y2(x)=y1(x)ln x + x^1/2sumn=1^infty dnx^n,
onde se mostra que os coeficientes dn podem ser escritos em termos dos números harmônicos Hn=1+tfrac12+cdots+tfrac1n. Um forma compacta é
y2(x)=x^1/2sumn=0^infty(-1)^nx^n(n!)^2l[ln x +2Hnr],
com a convenção H0=0.

Passo 7

A solução geral fica então
y(x)=C1,x^1/2sumn=0^infty(-1)^nx^n(n!)^2 +C2,x^1/2sumn=0^infty(-1)^nx^n(n!)^2l[ln x +2Hnr]

Passo 8

Pronto! Temos o par de soluções linearmente independentes em série de Frobenius em torno de x=0, válidas para x>0.

Resposta

Hn=1+tfrac12+cdots+tfrac1n
onde H0=0 (e ).

Exercícios relacionados