Calcule a integral definida
integral0^pi3 sen(theta)+sen(theta) tg(theta)sec ^2(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função trigonométrica, conteúdo de integração de funções trigonométricas e uso de identidades. Vamos precisar simplificar o integrando usando identidades e depois fazer a substituição t=sintheta.

Passo 2

Começo simplificando o integrando. Temos

Passo 3

Para integrar, uso a substituição t=sintheta, então dt=costheta,dtheta. Note que
sinthetacos^2theta,dtheta=(t(1-t^2)),dt, sin^2thetacostheta,dtheta=t^2,dt
Logo o integrando vira
(t-t^3)+t^2 = t + t^2 - t^3
e a integral
integral0^pi3(sinthetacos^2theta+sin^2thetacostheta),dtheta =integral0^raiz3/2(t + t^2 - t^3),dt

Passo 4

Integro o polinômio:
integral(t + t^2 - t^3),dt = t^22+t^33-t^44
Agora aplico os limites de t=0 até t=sin(pi/3)=raiz3/2.

Passo 5

Avalio em t=raiz3/2:
(raiz3/2)^22+(raiz3/2)^33-(raiz3/2)^44 =3/42+3raiz3/83-9/164 =38+raiz38-964 =24+8raiz3-964 =15+8raiz364
Em t=0 dá zero, então esse é o valor da integral.

Passo 6

Resposta

dfrac15+8raiz364

Exercícios relacionados