Sejam S a fronteira da região (x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0,0 <= z <= 2 e o campo F(x, y, z)=(x^2 sen(2 y)-z arctan (y), x(z^3+cos (2 y)), x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2). Calcule o fluxo de F que sai da superficie S (normal exterior).

Passo 1

A questão pede o fluxo de vec F que sai da superfície S, onde S é a fronteira da região D=(x,y,z)in R^3mid x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0, 0<= z<=2. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que diz que
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaDnablacdotvec F,dV

Passo 2

Vamos calcular primeiro a divergência de vec F=(F1,F2,F3):
nablacdotvec F =partialpartial xl(x^2sin(2y)-zarctan yr) +partialpartial yl(x(z^3+cos(2y))r) +partialpartial zl(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2r)
Derivando:
  • partialx(x^2sin(2y))=2xsin(2y) e partialx(-zarctan y)=0.
  • partialyl(xz^3+xcos(2y)r)=0-2xsin(2y).
  • partialz(x^2y^2)=0, partialz(x^2z^2)=2x^2z, partialz(y^2z^2)=2y^2z
    Somando:
nablacdotvec F=2xsin(2y)-2xsin(2y)+2z(x^2+y^2)=2z(x^2+y^2)

Passo 3

Para aplicar o teorema, montamos o integral triplo
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaD2z(x^2+y^2),dV
Em coordenadas cilíndricas, x=rcostheta, y=rsintheta, x^2+y^2=r^2, dV=r,dr,dtheta,dz, com
0<= r<=1,0<=theta<=tfracpi2,0<= z<=2

Passo 4

Agora calculamos o integral:
integral triplaD2z,r^2,dV =integral0^pi/2!dthetaintegral0^1!r^2,r,drintegral0^22z,dz =l(integral0^pi/2dthetar)l(integral0^1r^3,drr)l(integral0^22z,dzr)
Calculando cada parte:
  • integral0^pi/2dtheta=pi/2.
  • integral0^1r^3,dr=1/4.
  • integral0^22z,dz=[z^2]0^2=4
    Multiplicando:
pi2times14times4=pi2

Resposta

O fluxo de saída de vec F através de S é dfracpi2.

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