A região do 1º quadrante delimitada pelas curvas de equações
e
é girada em torno do eixo
. Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o volume de um sólido que resulta ao girar a região no 1º quadrante delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^{2} $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o método dos discos ou anéis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso significa que a região que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Quando giramos em torno do eixo $ y $, o volume $ V $ pode ser encontrado pela integral:
Onde:
- $ R(x) $ é a função de maior valor em relação ao eixo de rotação,
- $ r(x) $ é a função de menor valor.
No nosso caso, $ y = x $ está acima de $ y = x^{2} $ no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $. Então:
Passo 4
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 5
Integrando:
Resposta
O volume do sólido é
. No entanto, como essa opção não está listada, é possível que haja um erro no enunciado ou nas opções fornecidas. De acordo com os cálculos, a resposta correta seria
.