Calcule a integral definida
integral0^pi4 sec (v) tg(v) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de trigonometria
integral0^pi4 sec(v),tan(v),dv.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando antiderivadas, e vamos precisar lembrar que a derivada de secante gera secante vezes tangente.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada, recordamos que
ddvl[sec(v)r]=sec(v),tan(v)
Isso significa que uma primitiva de sec(v),tan(v) é simplesmente sec(v).

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi4 sec(v),tan(v),dv = l[sec(v)r]0^pi4

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de integração. Sabemos que
secl(tfracpi4r)=1cos(pi/4)=raiz2, sec(0)=1
Logo,
l[sec(v)r]0^pi4=secl(tfracpi4r)-sec(0)=raiz2-1

Resposta

raiz2-1

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