Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
T(x, y, z)=20-x^2-y^2-z^2
Uma partícula P1, localizada no ponto P1(2,3,4), necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula P2, localizada no ponto P2(0,-1,0), necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
3. Qual a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto P1 e qual a taxa máxima de decrescimento de temperatura no ponto P2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em uma região do espaço: $ T(x, y, z) = 20 - x^{2} - y^{2} - z^{2} $. Temos duas partículas, $ P_{1}(2,3,4) $ que quer esquentar o mais rápido possível e $ P_{2}(0,-1,0) $ que quer esfriar o mais rápido possível. O que precisamos descobrir é qual a taxa máxima de aumento da temperatura no $ P_{1} $ e a taxa máxima de diminuição da temperatura no $ P_{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa máxima de variação da temperatura numa direção qualquer é dada pelo gradiente da função temperatura. O gradiente ($ \nabla T $) aponta na direção de maior aumento da temperatura e seu módulo representa essa taxa máxima de aumento.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y, z) $. O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
T(x, y, z)
Calculando cada derivada:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
partial Tpartial x = -2x
partial Tpartial y = -2y
Então,
partial Tpartial z = -2z

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente nos pontos $ P_{1}(2,3,4) $ e $ P_{2}(0,-1,0) $.
Para $ P_{1}(2,3,4) $:
P1(2,3,4)
Para $ P_{2}(0,-1,0) $:
P2(0,-1,0)

Passo 5

Agora, a taxa máxima de aumento da temperatura no $ P_{1} $ é o módulo do gradiente nesse ponto. Vamos calcular:
P1
Já a taxa máxima de diminuição da temperatura no $ P_{2} $ também é o módulo do gradiente, pois a direção de maior diminuição é oposta ao gradiente:
|nabla T(P1)| = raiz(-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2 = raiz16 + 36 + 64 = raiz116 approx 10,77

Resposta

A taxa máxima de aumento da temperatura em $ P_{1}(2,3,4) $ é aproximadamente 10,77 unidades de temperatura por unidade de distância, e a taxa máxima de diminuição da temperatura em $ P_{2}(0,-1,0) $ é 2 unidades de temperatura por unidade de distância.

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