Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
Uma partícula
, localizada no ponto
, necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula
, localizada no ponto
, necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
3. Qual a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
e qual a taxa máxima de decrescimento de temperatura no ponto
?
Outra partícula
Pede-se:
3. Qual a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em uma região do espaço: $ T(x, y, z) = 20 - x^{2} - y^{2} - z^{2} $. Temos duas partículas, $ P_{1}(2,3,4) $ que quer esquentar o mais rápido possível e $ P_{2}(0,-1,0) $ que quer esfriar o mais rápido possível. O que precisamos descobrir é qual a taxa máxima de aumento da temperatura no $ P_{1} $ e a taxa máxima de diminuição da temperatura no $ P_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa máxima de variação da temperatura numa direção qualquer é dada pelo gradiente da função temperatura. O gradiente ($ \nabla T $) aponta na direção de maior aumento da temperatura e seu módulo representa essa taxa máxima de aumento.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y, z) $. O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente nos pontos $ P_{1}(2,3,4) $ e $ P_{2}(0,-1,0) $.
Para $ P_{1}(2,3,4) $:
Para $ P_{2}(0,-1,0) $:
Passo 5
Agora, a taxa máxima de aumento da temperatura no $ P_{1} $ é o módulo do gradiente nesse ponto. Vamos calcular:
Já a taxa máxima de diminuição da temperatura no $ P_{2} $ também é o módulo do gradiente, pois a direção de maior diminuição é oposta ao gradiente:
Resposta
A taxa máxima de aumento da temperatura em $ P_{1}(2,3,4) $ é aproximadamente 10,77 unidades de temperatura por unidade de distância, e a taxa máxima de diminuição da temperatura em $ P_{2}(0,-1,0) $ é 2 unidades de temperatura por unidade de distância.