Calcule a solução geral na forma de uma serie centrada no ponto singular regular
, e com
, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as rafaes indiciais são duplas, sendo necessario calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos tres procedimentos abordados na seção 2.2.3):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que pede para encontrar a solução geral usando séries de potências centradas no ponto singular regular
. A equação dada é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências, pontos singulares e métodos para encontrar soluções linearmente independentes quando a equação tem raízes duplas na equação indicial.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é um ponto singular regular da equação. Isso significa que podemos tentar uma solução em série de potências centralizada nesse ponto. Assumimos uma solução na forma de:
onde
é o expoente indicial que vamos determinar.
Passo 3
Calculamos a primeira e segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Vamos expandir isso e organizar os termos por potências de
.
Passo 5
Multiplicando os termos e reorganizando:
Simplificando:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 8
Começamos resolvendo a equação indicial:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, temos uma raiz dupla
.
Passo 9
Como a raiz é dupla, a segunda solução não será simplesmente
. Precisamos usar um método, como a redução da ordem, para encontrar uma segunda solução independentemente linear.
Passo 10
Assumimos que a segunda solução tem a forma:
Substituímos essa forma na equação diferencial e resolvemos para os coeficientes
, garantindo que
seja independente de
.
Passo 11
Finalmente, combinamos as duas soluções para obter a solução geral da equação:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, na forma de uma série centrada em
com
, é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são coeficientes determinados pelos procedimentos de resolução apresentados.