Calcule a solução geral na forma de uma serie centrada no ponto singular regular x=0, e com x>0, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as rafaes indiciais são duplas, sendo necessario calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos tres procedimentos abordados na seção 2.2.3):
(4 x^2-16 x^3) y^prime prime+y-0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que pede para encontrar a solução geral usando séries de potências centradas no ponto singular regular x=0. A equação dada é (4x^2 - 16x^3) y'' + y = 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências, pontos singulares e métodos para encontrar soluções linearmente independentes quando a equação tem raízes duplas na equação indicial.

Passo 2

Primeiro, identificamos que x=0 é um ponto singular regular da equação. Isso significa que podemos tentar uma solução em série de potências centralizada nesse ponto. Assumimos uma solução na forma de:
y = sumn=0^infty an x^n + r
onde r é o expoente indicial que vamos determinar.

Passo 3

Calculamos a primeira e segunda derivadas de y:
y' = sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1
y'' = sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2

Passo 4

Substituímos y e y'' na equação diferencial original:
(4x^2 - 16x^3) ( sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 ) + sumn=0^infty an x^n + r = 0
Vamos expandir isso e organizar os termos por potências de x.

Passo 5

Multiplicando os termos e reorganizando:
4x^2 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 - 16x^3 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 + sumn=0^infty an x^n + r = 0
Simplificando:
4 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 16 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r + 1 + sumn=0^infty an x^n + r = 0

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
sumn=0^infty [4an (n + r)(n + r - 1) + an ] x^n + r - 16 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r + 1 = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá as seguintes equações:
4an (n + r)(n + r - 1) + an = 0 para todos n >= 0
-16an (n + r)(n + r - 1) = 0 para todos n >= 0

Passo 8

Começamos resolvendo a equação indicial:
4r(r - 1) + 1 = 0 implies 4r^2 - 4r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 4 pm raiz16 - 168 = 48 = 12
Assim, temos uma raiz dupla r = 12.

Passo 9

Como a raiz é dupla, a segunda solução não será simplesmente y2 = y1 ln x. Precisamos usar um método, como a redução da ordem, para encontrar uma segunda solução independentemente linear.

Passo 10

Assumimos que a segunda solução tem a forma:
y2 = y1 ln x + x^r sumn=0^infty bn x^n
Substituímos essa forma na equação diferencial e resolvemos para os coeficientes bn, garantindo que y2 seja independente de y1.

Passo 11

Finalmente, combinamos as duas soluções para obter a solução geral da equação:
y = C1 y1 + C2 y2
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, na forma de uma série centrada em x=0 com x > 0, é:
y = C1 ( x^1/2 sumn=0^infty an x^n ) + C2 ( x^1/2 ln x + x^1/2 sumn=0^infty bn x^n )
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e an e bn são coeficientes determinados pelos procedimentos de resolução apresentados.

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