Calcule a integral definida.
integral0^1(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^1(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) , dx
Aqui, vamos trabalhar com integração por substituição, uma técnica que facilita resolver integrais complicadas. Precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olha só, temos uma expressão complicada elevada à 35ª potência e multiplicada por 2x + 1. Isso sugere que a parte dentro do parênteses pode ser nossa substituição.
Vamos definir:
u = 2x^2 + 2x - 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx:
dudx = 4x + 2
Para facilitar a substituição, queremos expressar dx em termos de du:
dx = du4x + 2

Passo 4

Dá pra notar que no nosso integrando temos um 2x + 1, que é metade de 4x + 2. Então, podemos reescrever 2x + 1 em termos de du:
2x + 1 = 4x + 22
Substituindo na expressão de dx:
dx = du4x + 2 = du2(2x + 1)
Portanto, $ (2x + 1)dx = \frac{du}{2} $

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral0^1(2 x^2+2 x-1)^35(2 x+1) , dx = integral u^35 cdot du2
Isso simplifica para:
12 integral u^35 , du

Passo 6

Integrando u^35 em relação a u:
12 cdot u^3636 + C = u^3672 + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar a constante C e agora substituímos os limites de integração.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição u = 2x^2 + 2x - 1, vamos calcular u para x = 1 e x = 0:
  • Para x = 1:
u = 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3
  • Para x = 0:
u = 2(0)^2 + 2(0) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na expressão integrada:
u^3672 gr|-1^3 = 3^3672 - (-1)^3672
Como qualquer número negativo elevado a uma potência par resulta em positivo:
(-1)^36 = 1
Então, a expressão fica:
3^36 - 172

Resposta

A integral definida é igual a dfrac3^36 - 172.

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