Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de
em
(suponha que
tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e conhecer como funciona a expansão de funções em séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona a série de Taylor? Ela é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos, cada um envolvendo potências de $ (x - a) $. No nosso caso, $ a = 0 $, então simplifica pra potências de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $. Essa função é conhecida por ter uma expansão em série geométrica quando $ |x| < 1 $. A série geométrica básica é:
onde $ |r| < 1 $.
Passo 4
Comparando com a nossa função, vemos que $ r = x $. Então, substituindo na série geométrica, temos:
Isso significa que a série de Taylor de $ f(x) $ em torno de 0 é simplesmente:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. O raio de convergência determina para quais valores de $ x $ a série converge, ou seja, para quais valores a soma infinita dá um resultado válido.
Passo 6
Para a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} r^n $, a condição de convergência é $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ r = x $, então temos:
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ em $ a = 0 $ é:
e o raio de convergência dessa série é 1.