Calcule a integral definida.
integral0^2 x^2 raizx^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^2 x^2 raizx^3+1,dx. Esse exercício é sobre técnicas de integração, mais especificamente mudança de variável, e vamos precisar reconhecer que a derivada de x^3+1 aparece na integral.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variável u = x^3 + 1. Aí temos du = 3x^2,dx, logo x^2,dx = tfrac13,du. Precisamos também ajustar os limites: quando x = 0, u = 1; quando x = 2, u = 9.

Passo 3

Substituindo na integral original, ela vira
integral0^2 x^2 raizx^3+1,dx = integralu=1^u=9 raizu cdot 13,du = 13 integral1^9 u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos u^tfrac12. Sabemos que
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23 u^tfrac32
Então
13 integral1^9 u^tfrac12,du = 13 cdot 23 [ u^tfrac32 ]1^9 = 29 l(9^tfrac32 - 1^tfrac32r)

Passo 5

Calculando os valores, temos 9^tfrac32 = ( raiz9 )^3 = 3^3 = 27 e 1^tfrac32 = 1. Então
29 (27 - 1) = 29 cdot 26 = 529

Resposta

529

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