Expresse como uma integral.
Passo 1
O enunciado pede para usar a propriedade de aditividade e reversão de limites de integração para juntar as cinco integrais em expressões mais simples.
Passo 2
Observe primeiro as duas integrais que envolvem os limites t e b: temos −∫ₜᵇ f(x)dx + ∫ₘᵇ f(x)dx. Como −∫ₜᵇ f = ∫ᵇₜ f, podemos escrever essas duas como uma só: ∫ₘᵇ f(x)dx + ∫ᵇₜ f(x)dx = ∫ₘᵗ f(x)dx.
Passo 3
Agora olhe as integrais com limites a, d e t, a: ∫ₐᵈ f(x)dx + ∫ₜᵃ f(x)dx. Como ∫ₜᵃ f = −∫ₐᵗ f, essas duas juntam-se em ∫ₐᵈ f(x)dx − ∫ₐᵗ f(x)dx = ∫ₜᵈ f(x)dx.
Passo 4
Até agora o somatório virou ∫ₜᵈ f(x)dx + ∫ₘᵗ f(x)dx − ∫_zᵉ f(x)dx. Agora use aditividade de novo nas duas primeiras: ∫ₘᵗ f + ∫ₜᵈ f = ∫ₘᵈ f.
Passo 5
Logo, toda a expressão original torna-se ∫ₘᵈ f(x)dx − ∫ₓ^e f(x)dx.
Passo 6
Por fim, mudando o sinal na segunda integral por inversão de limites, −∫_zᵉ f(x)dx = ∫_e^z f(x)dx, temos a forma mais compacta: ∫ₘᵈ f(x)dx + ∫_e^z f(x)dx.