Seja A área sob o gráfico da função dada f de a a b. Obtenha uma aproximação de A dividindo [a, b] em subintervalo de igual comprimento De e usando A PI e APc. Faça o gráfico da função dada.
f(x)=4-x^2 ; a=-2, b=3, n=5

Passo 1

A questão pede para aproximar a área sob o gráfico da função f(x)=4 - x^2 no intervalo [a,b]=[-2,3], usando dois tipos de soma de Riemann: pela ponto inicial ( API) e pelo ponto central ( APC). Também é solicitado fazer o gráfico de f. Para isso vamos precisar do conceito de partição de um intervalo, do tamanho do subintervalo De e da fórmula da soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o comprimento de cada subintervalo. Como n=5, temos
De
A partição gera os pontos
xi = a + i,De
ou seja: -2,-1,0,1,2,3.

Passo 3

Para API (soma pelo ponto inicial) usamos
API = sumi=0^n-1 f(xi),De
Aqui xi vai de -2 até 2. Calculando:
f(-2)=4-(-2)^2=0, f(-1)=3, f(0)=4, f(1)=3, f(2)=0
Então
API = (0 + 3 + 4 + 3 + 0)times1 = 10

Passo 4

Para APC (soma pelo ponto central) tomamos os pontos médios de cada subintervalo,
ci = xi + xi+12, i=0,1,2,3,4
Eles são: -1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5. Avaliamos:
f(-1.5)=1.75,;f(-0.5)=3.75,;f(0.5)=3.75,;f(1.5)=1.75,;f(2.5)=-2.25
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APC = (1.75 + 3.75 + 3.75 + 1.75 -2.25)times1 = 8.75

Passo 5

Para desenhar o gráfico de f(x)=4 - x^2: é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,4). Os interceptos com o eixo x ocorrem em x=pm2 (pois 4 - x^2=0 x=pm2), e em x=3 temos f(3)=-5. Pontos úteis para o esboço:
(-2,0),;(-1,3),;(0,4),;(1,3),;(2,0),;(3,-5)
Traçando esses pontos e ligando-os, obtemos a parábola.

Passo 6

A gente resumiu a teoria: como dividir o intervalo, como montar as somas de Riemann pelos pontos iniciais e centrais e esboçou o gráfico, puxando tudo para um entendimento passo a passo.

Resposta

As aproximações da área são:
AP_I = 10
AP_C = 8,75
O gráfico de f é uma parábola invertida com vértice em (0,4) e interceptos em x = –2, x = 2 (e f(3)=–5).

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