Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=y^2, A=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, y >= x e x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaA f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = y^2 e a região A é definida por x^2+y^2 <= 1, y >= x e x >= 0. Isso está relacionado ao conteúdo de integrais múltiplas e geometria das regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender a região de integração e escolher as melhores coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região A. A equação x^2+y^2 <= 1 representa um círculo de raio 1 centrado na origem. As condições y >= x e x >= 0 restringem essa região a uma parte específica do círculo. Esboçando isso, vemos que estamos lidando com uma fatia do círculo no primeiro e segundo quadrantes onde y é maior ou igual a x.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. O elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta. A função f(x, y) = y^2 se transforma em f(r, theta) = (r sintheta)^2 = r^2 sin^2theta.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio r vai de 0 até 1, já que estamos dentro do círculo de raio 1. Para o ângulo theta, observamos que y >= x implica sintheta >= costheta, ou seja, tantheta >= 1. Portanto, theta varia de pi/4 até pi/2 para cobrir a parte superior do círculo no primeiro quadrante.

Passo 5

Com tudo isso, montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaA y^2 , dx , dy = integralpi/4^pi/2 integral0^1 r^2 sin^2theta cdot r , dr , dtheta = integralpi/4^pi/2 sin^2theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Primeiro integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então, a integral fica:
14 integralpi/4^pi/2 sin^2theta , dtheta

Passo 6

Para integrar sin^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Então, a integral se torna:
14 cdot 12 integralpi/4^pi/2 (1 - cos(2theta)) , dtheta = 18 [ theta - sin(2theta)2 ]pi/4^pi/2

Passo 7

Calculando os limites:
Para theta = pi/2:
theta - sin(2theta)2 = pi2 - sin(pi)2 = pi2
Para theta = pi/4:
theta - sin(2theta)2 = pi4 - sin(pi/2)2 = pi4 - 12
Subtraindo:
pi2 - ( pi4 - 12 ) = pi4 + 12

Passo 8

Multiplicando pelo fator 18:
18 ( pi4 + 12 ) = pi32 + 116

Resposta

A integral dupla vale pi32 + 116.

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