Calcule
, sendo
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
e a região
é definida por
,
e
. Isso está relacionado ao conteúdo de integrais múltiplas e geometria das regiões no plano. Para resolver, vamos precisar entender a região de integração e escolher as melhores coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa um círculo de raio 1 centrado na origem. As condições
e
restringem essa região a uma parte específica do círculo. Esboçando isso, vemos que estamos lidando com uma fatia do círculo no primeiro e segundo quadrantes onde
é maior ou igual a
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares, onde
e
. O elemento de área em coordenadas polares é
. A função
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio
vai de 0 até 1, já que estamos dentro do círculo de raio 1. Para o ângulo
, observamos que
implica
, ou seja,
. Portanto,
varia de
até
para cobrir a parte superior do círculo no primeiro quadrante.
Passo 5
Com tudo isso, montamos a integral em coordenadas polares:
Primeiro integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Calculando os limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral dupla vale
.