Calcule a integral definida:
Passo 1
Queremos calcular a integral definida de uma soma de termos simples, usando regras básicas de integração: integral de uma constante e integral de potência de t. Vamos precisar lembrar que para qualquer constante a vale \ $\int a\,dt = a t$ e que $\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ se $n \neq -1$.
Passo 2
Decompondo a integral em duas partes, usamos a linearidade:
$$
\int_{1}{3}\left(5+\frac{1}{t{2}}\right)dt = \int_{1}^{3}5\,dt + \int_{1}{3}t{-2}\,dt.
$$
\int_{1}{3}\left(5+\frac{1}{t{2}}\right)dt = \int_{1}^{3}5\,dt + \int_{1}{3}t{-2}\,dt.
$$
Passo 3
Calculamos cada antiderivada separadamente:
Para $5$:\int 5\,dt = 5t.
Para $t^{-2}$: usando a regra de potência com $n=-2$, temos
Para $5$:\int 5\,dt = 5t.
Para $t^{-2}$: usando a regra de potência com $n=-2$, temos
$$
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} = \frac{t^{-1}}{-1} = -t^{-1}.
$$
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} = \frac{t^{-1}}{-1} = -t^{-1}.
$$
Passo 4
Portanto, a primitiva geral é
$$
F(t) = 5t - t^{-1}.
$$
F(t) = 5t - t^{-1}.
$$
Passo 5
Avaliamo-la nos limites de 1 a 3:
$$
F(3) - F(1) = \bigl(5\cdot 3 - 3^{-1}\bigr) - \bigl(5\cdot 1 - 1^{-1}\bigr).
$$
F(3) - F(1) = \bigl(5\cdot 3 - 3^{-1}\bigr) - \bigl(5\cdot 1 - 1^{-1}\bigr).
$$
Passo 6
Calculando cada parte:
$5\cdot 3 - 3^{-1} = 15 - \frac{1}{3} = \frac{45-1}{3} = \frac{44}{3}$ e
$5\cdot 1 - 1^{-1} = 5 - 1 = 4$.
Logo,
$5\cdot 3 - 3^{-1} = 15 - \frac{1}{3} = \frac{45-1}{3} = \frac{44}{3}$ e
$5\cdot 1 - 1^{-1} = 5 - 1 = 4$.
Logo,
$$
F(3)-F(1) = \frac{44}{3} - 4 = \frac{44}{3} - \frac{12}{3} = \frac{32}{3}.
$$
F(3)-F(1) = \frac{44}{3} - 4 = \frac{44}{3} - \frac{12}{3} = \frac{32}{3}.
$$