Determine as possíveis R.C. para
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem uma função em termos de $ z $ chamada $ X(z) $, e o objetivo é determinar as possíveis Regiões de Convergência (R.C.) para ela. A Regiões de Convergência são importantes porque dizem onde a série de potências associada à função $ X(z) $ converge, ou seja, onde ela faz sentido matematicamente. Para resolver isso, vamos precisar analisar os polos e zeros da função $ X(z) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os polos e zeros da função $ X(z) $. A função está escrita da seguinte forma:
Os zeros são os valores de $ z $ que fazem o numerador igual a zero, e os polos são os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero.
Passo 3
Vamos encontrar os zeros primeiro:
Então, os zeros estão em $ z = \frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os polos. O denominador é o produto de dois fatores:
Primeiro, resolvemos $ 1 + \frac{1}{4} z^{-2} = 0 $:
Então, temos dois polos em $ z = \frac{j}{2} $ e $ z = -\frac{j}{2} $.
Agora, para o segundo fator:
Multiplicamos tudo por $ z^2 $ para facilitar:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Portanto, os outros dois polos estão em $ z = -\frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{3}{4} $.
Passo 5
Agora que identificamos todos os polos e zeros, vamos resumir:
- Zeros em $ z = \frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{1}{2} $
- Polos em $ z = \frac{j}{2} $, $ z = -\frac{j}{2} $, $ z = -\frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{3}{4} $
A Regiões de Convergência (R.C.) dependem da localização desses polos no plano $ z $.
Passo 6
Para determinar as possíveis R.C., precisamos considerar dois casos principais:
- R.C. Exterior: A série converge fora do polo de maior módulo.
- R.C. Interior: A série converge dentro do polo de menor módulo.
Primeiro, identificamos o polo com o maior módulo (o mais afastado da origem):
- $ | \frac{j}{2} | = \frac{1}{2} $
- $ | -\frac{j}{2} | = \frac{1}{2} $
- $ | -\frac{1}{2} | = \frac{1}{2} $
- $ | -\frac{3}{4} | = \frac{3}{4} $
Então, o polo mais afastado é $ z = -\frac{3}{4} $ com módulo $ \frac{3}{4} $.
Passo 7
Caso 1: R.C. Exterior
A R.C. fica fora do polo de maior módulo. Portanto, a R.C. será:
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ z $ cujo módulo é maior que $ \frac{3}{4} $.
Caso 2: R.C. Interior
A R.C. fica dentro do polo de menor módulo. O menor módulo entre os polos é $ \frac{1}{2} $. Então, a R.C. será:
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ z $ cujo módulo é menor que $ \frac{1}{2} $.
Resposta
As possíveis Regiões de Convergência para $ X(z) $ são:
- Exterior: $ |z| > \frac{3}{4} $
- Interior: $ |z| < \frac{1}{2} $