Determine as possíveis R.C. para
X(z)=1-14 z^-2(1+14 z^-2)(1+54 z^-1+38 z^-2)

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem uma função em termos de $ z $ chamada $ X(z) $, e o objetivo é determinar as possíveis Regiões de Convergência (R.C.) para ela. A Regiões de Convergência são importantes porque dizem onde a série de potências associada à função $ X(z) $ converge, ou seja, onde ela faz sentido matematicamente. Para resolver isso, vamos precisar analisar os polos e zeros da função $ X(z) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os polos e zeros da função $ X(z) $. A função está escrita da seguinte forma:
X(z)
Os zeros são os valores de $ z $ que fazem o numerador igual a zero, e os polos são os valores de $ z $ que fazem o denominador igual a zero.

Passo 3

Vamos encontrar os zeros primeiro:
1 - 14 z^-2 = 0 Rightarrow z^-2 = 4 Rightarrow z^2 = 14 Rightarrow z = pm 12
Então, os zeros estão em $ z = \frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os polos. O denominador é o produto de dois fatores:
(1 + 14 z^-2)(1 + 54 z^-1 + 38 z^-2) = 0
Primeiro, resolvemos $ 1 + \frac{1}{4} z^{-2} = 0 $:
1 + 14 z^-2 = 0
Então, temos dois polos em $ z = \frac{j}{2} $ e $ z = -\frac{j}{2} $.
Agora, para o segundo fator:
14 z^-2 = -1 Rightarrow z^-2 = -4 Rightarrow z^2 = -14 Rightarrow z = pm j2
Multiplicamos tudo por $ z^2 $ para facilitar:
z = j2
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
z = -j2
Então, temos:
1 + 54 z^-1 + 38 z^-2 = 0
Portanto, os outros dois polos estão em $ z = -\frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{3}{4} $.

Passo 5

Agora que identificamos todos os polos e zeros, vamos resumir:
  • Zeros em $ z = \frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{1}{2} $
  • Polos em $ z = \frac{j}{2} $, $ z = -\frac{j}{2} $, $ z = -\frac{1}{2} $ e $ z = -\frac{3}{4} $
A Regiões de Convergência (R.C.) dependem da localização desses polos no plano $ z $.

Passo 6

Para determinar as possíveis R.C., precisamos considerar dois casos principais:
  1. R.C. Exterior: A série converge fora do polo de maior módulo.
  2. R.C. Interior: A série converge dentro do polo de menor módulo.
Primeiro, identificamos o polo com o maior módulo (o mais afastado da origem):
  • $ | \frac{j}{2} | = \frac{1}{2} $
  • $ | -\frac{j}{2} | = \frac{1}{2} $
  • $ | -\frac{1}{2} | = \frac{1}{2} $
  • $ | -\frac{3}{4} | = \frac{3}{4} $
Então, o polo mais afastado é $ z = -\frac{3}{4} $ com módulo $ \frac{3}{4} $.

Passo 7

Caso 1: R.C. Exterior
A R.C. fica fora do polo de maior módulo. Portanto, a R.C. será:
|z| > 34
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ z $ cujo módulo é maior que $ \frac{3}{4} $.
Caso 2: R.C. Interior
A R.C. fica dentro do polo de menor módulo. O menor módulo entre os polos é $ \frac{1}{2} $. Então, a R.C. será:
z
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ z $ cujo módulo é menor que $ \frac{1}{2} $.

Resposta

As possíveis Regiões de Convergência para $ X(z) $ são:
  1. Exterior: $ |z| > \frac{3}{4} $
  2. Interior: $ |z| < \frac{1}{2} $

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