Considere o sinal
. Calcule
e sua respectiva região de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o sinal $ x[n] = \left(\frac{1}{5}\right)^{n} u[n-3] $ e precisa calcular a sua Transformada Z, que é $ X(z) $, além de determinar a região de convergência (ROC) dessa transformada. A Transformada Z é uma ferramenta importante na análise de sinais e sistemas no domínio discreto, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e propriedades da Transformada Z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa expressão $ x[n] = \left(\frac{1}{5}\right)^{n} u[n-3] $. Aqui, $ u[n-3] $ é a função degrau unitário, que é zero para $ n < 3 $ e um para $ n \geq 3 $. Isso significa que o sinal $ x[n] $ é zero até $ n = 2 $ e, a partir de $ n = 3 $, ele segue a fórmula $ \left(\frac{1}{5}\right)^{n} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a definição da Transformada Z:
No nosso caso, como $ x[n] = 0 $ para $ n < 3 $, a soma começa a partir de $ n = 3 $:
Passo 4
Vamos simplificar essa soma. Observe que podemos escrever $ \left(\frac{1}{5}\right)^{n} z^{-n} $ como $ \left(\frac{z{-1}}{5}\right){n} $. Então, temos:
Passo 5
Essa soma é uma série geométrica, que tem a forma geral:
No nosso caso, $ a = \frac{z^{-1}}{5} $ e $ N = 3 $. Aplicando a fórmula da série geométrica, temos:
Passo 6
Para deixar a expressão mais elegante, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $ z^{3} $ para eliminar os termos negativos de $ z $:
Passo 7
Por fim, vamos determinar a região de convergência (ROC). Para a série geométrica convergir, a condição $ \left| \frac{z^{-1}}{5} \right| < 1 $ deve ser satisfeita, ou seja:
Resposta
A Transformada Z do sinal é:
E a região de convergência é: