Calcule a integral definida integral1^4 t ln t d t
(Valor: 20)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida integral1^4 tln t,dt. Esse tipo de integral, em que aparece produto de uma função algébrica e um logarítmico, é resolvido por integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Definimos as funções para partes: seja u = ln t e dv = t,dt. Então temos
du = 1t,dt, v = integral t,dt = t^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral1^4 tln t,dt = t^22ln t|1^4 - integral1^4 t^22cdot1t,dt = t^22ln t|1^4 - 12integral1^4 t,dt

Passo 4

Agora calculamos cada termo separadamente:
t^22ln t|1^4 = 162ln 4 = 8ln 4,
12integral1^4 t,dt = 12t^22|1^4 = 12l(162-12r)=154

Passo 5

Como ln 4 = 2ln 2, segue que
8ln 4 = 16ln 2

Resposta

16 \ln 2 - \frac{15}{4}

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