Calcule a integral indefinida integral x-4x^2-5 x-6 d x.
(Valor: 20)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x-4x^2 - 5x - 6 ,dx. O conteúdo principal é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais. Para resolver, vamos precisar: fatorar o denominador, escrever a decomposição em frações parciais, encontrar as constantes e depois integrar cada termo usando integral 1x+adx = ln|x+a| + C.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2 - 5x - 6. Observamos que
x^2 - 5x - 6 = (x-6)(x+1)
Então propomos a decomposição
x-4(x-6)(x+1) = Ax-6 + Bx+1

Passo 3

Multiplicando por (x-6)(x+1) e comparando coeficientes, temos
x - 4 = A(x+1) + B(x-6) = (A + B)x + (A - 6B)
Igualando coeficientes do termo x e do termo constante, obtemos o sistema
A + B = 1, A - 6B = -4

Passo 4

Resolvendo, de A + B = 1 vem A = 1 - B. Substituindo em A - 6B = -4:
(1 - B) - 6B = -4
1 - 7B = -4 Rightarrow B = 57, A = 1 - 57 = 27

Passo 5

Agora a integral se torna
integral x-4x^2 - 5x - 6 ,dx = integral l(2/7x-6 + 5/7x+1r)dx

Passo 6

Integramos cada termo usando integral 1x-adx = ln|x-a|:
integral 2/7x-6dx = 27ln|x-6|, integral 5/7x+1dx = 57ln|x+1|
Somando os resultados e acrescentando a constante +C, chega-se à resposta final:
integral x-4x^2 - 5x - 6 ,dx = 27ln|x-6| + 57ln|x+1| + C

Resposta

\displaystyle \frac{2}{7}\ln\bigl|x-6\bigr| + \frac{5}{7}\ln\bigl|x+1\bigr| + C

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