Encontre os vetores T, N e B para a hélice circular
r(t)=2 cos t i+2 sen t j+3 t k

Passo 1

O exercício pede para encontrar os vetores tangente unitário T, normal principal N e binormal B (triêdrica de Frenet) da curva paramétrica r(t)=2cos t,i+2sin t,j+3t,k. Vamos usar derivadas de r(t), normalização e produto vetorial.

Passo 2

Derivamos r(t) para obter o vetor velocidade e calculamos sua norma.
r'(t)=(-2sin t),i+(2cos t),j+3,k
A norma é
|r'(t)|=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+3^2=raiz4(sin^2t+cos^2t)+9=raiz13

Passo 3

Obtemos o vetor tangente unitário dividindo r'(t) pela norma:
T(t)=r'(t)|r'(t)|=1raiz13l(-2sin t,;2cos t,;3r)

Passo 4

Derivamos novamente para achar r''(t) e observamos que T'(t)=r''(t)/raiz13.
r''(t)=(-2cos t),i+(-2sin t),j+0,k
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T'(t)=1raiz13(-2cos t,-2sin t,0)
cujos componentes têm norma
|T'(t)|=1raiz13raiz4(cos^2t+sin^2t)=2raiz13

Passo 5

Normalizamos T'(t) para obter o vetor normal principal:
N(t)=T'(t)|T'(t)|=1(2/raiz13)cdot1raiz13(-2cos t,-2sin t,0)=(-cos t,-sin t,0)

Passo 6

Finalmente, o vetor binormal é o produto vetorial de T por N, já unitários:
B(t)=T(t)times N(t)=1raiz13(3sin t,;-3cos t,;2),
que de fato tem norma 1 por raiz9+4=raiz13 no numerador e o /raiz13 no fator externo.

Passo 7

Resposta

T(t)= tfrac1raiz13(-2sin t,;2cos t,;3), N(t)= (-cos t,;-sin t,;0), B(t)= tfrac1raiz13(3sin t,;-3cos t,;2).

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