Calcule a integral definida integral1^e^2 x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida integral1^e^2 x ln x , dx. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da função que se encaixam na fórmula de integração por partes e seguir os passos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. No nosso caso, temos $x \ln x $.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x
Então, precisamos encontrar du. Derivando u em relação a x:
du = 1x , dx
Agora, o dv será o restante:
dv = x , dx
E agora, vamos integrar dv para encontrar v:
v = integral x , dx = x^22

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da integração por partes:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a e^2, não precisamos do C. Então, a antiderivada é:
x^22 ln x - x^24

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 a e^2:
[ x^22 ln x - x^24 ]1^e^2 = ( (e^2)^22 ln e^2 - (e^2)^24 ) - ( 1^22 ln 1 - 1^24 )

Passo 7

Simplificando cada parte:
Primeiro, sabemos que ln e^2 = 2 e (e^2)^2 = e^4. Além disso, ln 1 = 0.
Então:
e^42 cdot 2 - e^44 - ( 12 cdot 0 - 14 ) = e^4 - e^44 + 14
= 4e^44 - e^44 + 14 = 3e^44 + 14
Que pode ser simplificado para:
3e^4 + 14

Resposta

A integral definida integral1^e^2 x ln x , dx é igual a dfrac3e^4 + 14.

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