Calcule a integral definida
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da função que se encaixam na fórmula de integração por partes e seguir os passos para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. No nosso caso, temos $x \ln x $.
Passo 3
Vamos escolher:
Então, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Agora, o
será o restante:
E agora, vamos integrar
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a segunda integral:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da integração por partes:
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a
, não precisamos do
. Então, a antiderivada é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 a
:
Passo 7
Simplificando cada parte:
Primeiro, sabemos que e
. Além disso,
.
Então:
Primeiro, sabemos que
Então:
Que pode ser simplificado para:
Resposta
A integral definida
é igual a
.