Ex. 10. Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
( e
se
transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma equação diferencial chamada de equação de Euler de segunda ordem, que tem a forma geral:
Aqui,
e
são constantes reais. O objetivo é mostrar que, fazendo a troca de variável
(quando
) ou
(quando
), essa equação se transforma em uma equação linear com coeficientes constantes. Depois disso, vamos aplicar essa técnica para encontrar a solução geral da equação específica:
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a troca de variável proposta:
. Isso significa que vamos reescrever a função
em termos da nova variável
. Ou seja, vamos considerar
onde
(já que
).
Passo 3
Precisamos expressar as derivadas de
em relação a
em termos de
. Vamos usar a regra da cadeia para isso.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Como
, temos:
Então,
Passo 4
Agora, a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação de Euler original:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo:
- O segundo termo:
- O terceiro termo permanece:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Ou seja:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação diferencial com coeficientes constantes:
Para resolver, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 8
Resolvendo a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Como as raízes são complexas (
), a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 10
Lembrando que fizemos a troca de variável
, ou seja,
. Vamos substituir de volta:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.