Ex. 10. Uma equação linear da forma x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, onde a e beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^z se x>0 ( e x=-e^z se x<0) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral da equação:
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+10 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma equação diferencial chamada de equação de Euler de segunda ordem, que tem a forma geral:
x^2 y'' + alpha x y' + beta y = 0
Aqui, alpha e beta são constantes reais. O objetivo é mostrar que, fazendo a troca de variável x = e^z (quando x > 0) ou x = -e^z (quando x < 0), essa equação se transforma em uma equação linear com coeficientes constantes. Depois disso, vamos aplicar essa técnica para encontrar a solução geral da equação específica:
x^2 y'' + 3x y' + 10 y = 0
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a troca de variável proposta: x = e^z. Isso significa que vamos reescrever a função y em termos da nova variável z. Ou seja, vamos considerar y(x) = Y(z) onde z = ln(x) (já que x = e^z).

Passo 3

Precisamos expressar as derivadas de y em relação a x em termos de z. Vamos usar a regra da cadeia para isso.
Primeiro, a primeira derivada de y em relação a x:
dydx = dYdz cdot dzdx
Como z = ln(x), temos:
dzdx = 1x
Então,
dydx = 1x dYdz

Passo 4

Agora, a segunda derivada de y em relação a x:
d^2ydx^2 = ddx ( 1x dYdz )
Aplicando a regra do produto:
d^2ydx^2 = -1x^2 dYdz + 1x cdot d^2Ydz^2 cdot dzdx
Substituindo dzdx = 1x:
d^2ydx^2 = -1x^2 dYdz + 1x^2 d^2Ydz^2

Passo 5

Agora, vamos substituir dydx e d^2ydx^2 na equação de Euler original:
x^2 ( -1x^2 dYdz + 1x^2 d^2Ydz^2 ) + 3x ( 1x dYdz ) + 10 Y = 0
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo:
x^2 ( -1x^2 dYdz + 1x^2 d^2Ydz^2 ) = -dYdz + d^2Ydz^2
  • O segundo termo:
3x ( 1x dYdz ) = 3 dYdz
  • O terceiro termo permanece:
10 Y

Passo 6

Agora, juntando tudo:
-dYdz + d^2Ydz^2 + 3 dYdz + 10 Y = 0
Simplificando os termos semelhantes:
d^2Ydz^2 + ( -1 + 3 ) dYdz + 10 Y = 0
Ou seja:
d^2Ydz^2 + 2 dYdz + 10 Y = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação diferencial com coeficientes constantes:
d^2Ydz^2 + 2 dYdz + 10 Y = 0
Para resolver, assumimos uma solução da forma Y = e^kz. Substituindo na equação:
k^2 e^kz + 2k e^kz + 10 e^kz = 0
Dividindo por e^kz (que nunca é zero):
k^2 + 2k + 10 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação característica:
k^2 + 2k + 10 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = -2 pm raiz4 - 40 2 = -2 pm raiz-36 2 = -2 pm 6i 2 = -1 pm 3i

Passo 9

Como as raízes são complexas ( k = -1 pm 3i), a solução geral para Y é:
Y(z) = e^-z ( C1 cos(3z) + C2 sin(3z) )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 10

Lembrando que fizemos a troca de variável x = e^z, ou seja, z = ln(x). Vamos substituir de volta:
Y(z) = y(x) = e^- ln(x) ( C1 cos(3 ln(x)) + C2 sin(3 ln(x)) )
Simplificando e^- ln(x) = 1x:
y(x) = 1x ( C1 cos(3 ln(x)) + C2 sin(3 ln(x)) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = 1x ( C1 cos(3 ln(x)) + C2 sin(3 ln(x)) )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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