Calcule a integral definida usando integração por partes: integral u d v=u v-integral vdu. Considere os valores de u e d v dados, calcule d u e v e resolva a integral.
integral0^12 x cos (pi x) d x u=x d u=? d v=cos (pi x) d x v=integral cos (pi x) d x=?

Passo 1

Na questão, queremos calcular a integral definida integral0^1/2 xcos(pi x),dx usando a técnica de integração por partes, que segue a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Foi dado u=x e dv=cos(pi x),dx.

Passo 2

Derivando u e integrando dv, temos
du = dx, v = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)
Aqui usamos a ideia de que a integral de cos(pi x) é 1pisin(pi x) porque ao derivar sin(pi x) surge um fator pi.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, escrevemos
integral0^1/2 xcos(pi x),dx = l[xcdot 1pisin(pi x)r]0^1/2 - integral0^1/2 1pisin(pi x),dx
Isso transforma a integral original em um termo de contorno menos uma integral mais simples.

Passo 4

Calculamos o termo de contorno:
l[xcdot 1pisin(pi x)r]0^1/2 = 12cdot 1pisinl(picdottfrac12r) - 0 = 12pi
Note que sin(pi/2)=1.

Passo 5

Agora, avaliamos a integral remanescente:
integral0^1/2 1pisin(pi x),dx = 1pil[-1picos(pi x)r]0^1/2 = -1pi^2l[cos(pi/2)-cos(0)r] = 1pi^2
Usamos que cos(pi/2)=0 e cos(0)=1.

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica
integral0^1/2 xcos(pi x),dx = 12pi - 1pi^2 = pi-22pi^2
Então chegamos ao resultado final.

Resposta

pi-22pi^2

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