Seja f uma função contínua no intervalo [0,3] tal que f(0)=4 e f(3)=-2. Considere a função g definida por g(x)=12 f(x+3)+6.
Determine se cada uma das afirmações abaixo: é sempre verdadeira, pode ser verdadeira ou nunca é verdadeira.
g(c)=3 tem ao menos uma
solução com c in[-3,0]

Passo 1

Temos uma função f contínua em [0,3] com f(0)=4 e f(3)=-2, e definimos g(x)=tfrac12f(x+3)+6 para xin[-3,0]. O que precisamos usar aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI): uma função contínua em um intervalo assume todos os valores entre os valores nos extremos do intervalo.
A função g é contínua em [-3,0] porque é composição de f, que é contínua, com as operações de deslocamento, multiplicação por constante e soma, todas preservando continuidade.

Passo 2

Vamos calcular os valores de g nas extremidades de [-3,0]:
g(-3)=tfrac12,f(0)+6=tfrac12cdot4+6=2+6=8
g(0)=tfrac12,f(3)+6=tfrac12cdot(-2)+6=-1+6=5

Passo 3

Pelo TVI, g assume todos os valores entre g(-3)=8 e g(0)=5, ou seja, o conjunto de valores de g em [-3,0] é o intervalo [5,8]. Como 3 não está em [5,8], não há cin[-3,0] tal que g(c)=3.

Resposta

nunca é verdadeira

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