(Função Delta de Dirac)
Resolva o PVI:
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Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A questão pede para resolver uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem que envolve a Função Delta de Dirac. Precisamos usar conceitos de transformada de Laplace para lidar com a função delta e aplicar as condições iniciais dadas: $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac, $ \delta(t - a) $. Ela é uma função especial que é zero em todos os lugares, exceto em $ t = a $, onde ela “pico” infinitamente, de tal forma que a integral dela é igual a 1. Isso é útil para modelar impulsos em sistemas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais.
A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
Passo 4
Calculamos cada termo usando propriedades da transformada de Laplace:
- Para $ y’’ $:
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, simplifica para $ s^2 Y(s) $.
- Para $ 2y $:
- Para $ \delta(t - 2\pi) $:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos isolar $ Y(s) $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter $ y(t) $. Observamos que:
Então:
Isso corresponde a um deslocamento no tempo na transformada inversa:
Onde $ u(t - 2\pi) $ é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função no tempo $ t = 2\pi $.
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A solução da equação diferencial é
onde $ u(t - 2\pi) $ é a função degrau de Heaviside que ativa a solução a partir de $ t = 2\pi $.