(Função Delta de Dirac)
Resolva o PVI: y^prime prime+2 y=8 de;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A questão pede para resolver uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem que envolve a Função Delta de Dirac. Precisamos usar conceitos de transformada de Laplace para lidar com a função delta e aplicar as condições iniciais dadas: $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac, $ \delta(t - a) $. Ela é uma função especial que é zero em todos os lugares, exceto em $ t = a $, onde ela “pico” infinitamente, de tal forma que a integral dela é igual a 1. Isso é útil para modelar impulsos em sistemas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais.
A equação original é:
y'' + 2y = 8de
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly'' + 2Ly = 8Lde

Passo 4

Calculamos cada termo usando propriedades da transformada de Laplace:
  • Para $ y’’ $:
y''
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, simplifica para $ s^2 Y(s) $.
  • Para $ 2y $:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • Para $ \delta(t - 2\pi) $:
y(0) = 0
Substituindo de volta na equação:
y'(0) = 0

Passo 5

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Y(s)(s^2 + 2) = 8 e^-2pi s

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter $ y(t) $. Observamos que:
y(t)
Então:
1s^2 + 2 = 1raiz2^2 + s^2 = 12 Lsin(raiz2 t)
Isso corresponde a um deslocamento no tempo na transformada inversa:
Y(s) = 8 e^-2pi s cdot 1s^2 + 2
Onde $ u(t - 2\pi) $ é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função no tempo $ t = 2\pi $.

Passo 7

Simplificando a expressão:
y(t) = 8raiz2 sin(raiz2(t - 2pi)) cdot u(t - 2pi)
Podemos simplificar ainda mais:
y(t) = 4raiz2 sin(raiz2(t - 2pi)) cdot u(t - 2pi)

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = 4raiz2 sin(raiz2(t - 2pi)) cdot u(t - 2pi)
onde $ u(t - 2\pi) $ é a função degrau de Heaviside que ativa a solução a partir de $ t = 2\pi $.

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