Determine a transformada inversa de H(s) para as seguintes transformadas:
H(s)=10 e^2 ss^2-2 s+5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de $ H(s) = \frac{10 e^{2 s}}{s^{2} - 2 s + 5} $. Isso está relacionado à Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio complexo $ s $. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar propriedades da Transformada de Laplace, especialmente a que lida com deslocamentos no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração $ s^{2} - 2 s + 5 $. Podemos completar o quadrado para reescrevê-lo de forma mais fácil de manejar. Completando o quadrado:
s^2 - 2 s + 5
Isso nos deixa com:
s^2 - 2 s + 5 = (s - 1)^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de $ \frac{\omega}{(s - a)^{2} + \omega^{2}}} $ é $ e^{a t} \sin(\omega t) $. No nosso caso, $ a = 1 $ e $ \omega = 2 $, então a transformada inversa de $ \frac{2}{(s - 1)^{2} + 4} $ é $ e^{t} \sin(2 t) $.

Passo 4

Mas olha só, no nosso $ H(s) $, temos $ \frac{10}{(s - 1)^{2} + 4} $. Para ajustar isso, percebemos que $ \frac{10}{2} = 5 $, então podemos escrever:
H(s)

Passo 5

Aqui, temos um termo extra $ e^{2 s} $. Isso corresponde à propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamento no tempo. Especificamente, $ \mathcal{L}^{-1}{ e^{-a s} F(s) } = f(t - a) u(t - a) $, onde $ u(t - a) $ é a função degrau de Heaviside.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, temos um deslocamento de $ a = -2 $ (note que o sinal é invertido), então a transformada inversa será:
a = -2

Resposta

A transformada inversa de $ H(s) $ é:
H(s)

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