Calcule a integral definida utilizando frações parciais:
integral1^2 1x^2-x-6 d x

Passo 1

A integral dada é integral1^21x^2-x-6,dx. O conteúdo principal envolve decomposição em frações parciais e uso de integral1x-a,dx=ln|x-a|+C. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes para a decomposição.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
x^2-x-6=(x-3)(x+2)

Passo 3

Em seguida escrevemos a fração como soma de parciais:
1(x-3)(x+2)=Ax-3+Bx+2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+2) fica
1=A(x+2)+B(x-3)

Passo 5

Para achar A e B, fazemos escolhas convenientes de x:
  • Se x=3, então 1= A(5) e A=tfrac15.
  • Se x=-2, então 1= B(-5) e B=-tfrac15.

Passo 6

Logo
1x^2-x-6=1/5x-3-1/5x+2

Passo 7

Integrando de 1 a 2:
integral1^21x^2-x-6,dx=15integral1^2l(1x-3-1x+2r)dx

Passo 8

O antiderivado é
15l(ln|x-3| - ln|x+2|r)

Passo 9

Agora avaliamos nos limites:
  • Em x=2: 15l(ln|2-3| - ln|2+2|r)=15(ln1 - ln4)=-tfrac15ln4
  • Em x=1: 15l(ln|1-3| - ln|1+2|r)=15(ln2 - ln3)

Passo 10

Subtraindo, obtemos
integral1^21x^2-x-6,dx=-tfrac15ln4 - 15(ln2 - ln3)=tfrac15(ln3 - ln8)=15lnl(38r)

Resposta

15lnl(38r)

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