Calcule a integral indefinida utilizando a regra da substituição:
integral 2 x(x^2+1)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular a integral indefinida de:
integral 2 x(x^2+1)^3 / 2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional com potência, então vamos precisar usar a substituição para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, simplificará a integral. Observamos que o denominador tem x^2 + 1, que é uma expressão comum em integrais envolvendo substituição.
Vamos fazer a substituição:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
du = ddx(x^2 + 1) , dx = 2x , dx
Perceba que temos 2x , dx no numerador da nossa integral original, que é exatamente du!

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral 2 x(x^2+1)^3 / 2 , dx = integral duu^3/2
Simplificando a expressão:
integral u^-3/2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-3/2 em relação a u. A regra da potência para integrais diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde n neq -1. Aqui, n = -32, então:
integral u^-3/2 , du = u^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
-2u^-1/2 + C = -2(x^2 + 1)^-1/2 + C
Podemos escrever isso de forma mais tradicional:
-2raizx^2 + 1 + C

Resposta

A integral indefinida é:
-2raizx^2 + 1 + C

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