Calcule a integral indefinida utilizando a regra da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra da substituição. O enunciado pede para calcular a integral indefinida de:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional com potência, então vamos precisar usar a substituição para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, simplificará a integral. Observamos que o denominador tem
, que é uma expressão comum em integrais envolvendo substituição.
Vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Perceba que temos
no numerador da nossa integral original, que é exatamente
!
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. A regra da potência para integrais diz que:
onde
. Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Podemos escrever isso de forma mais tradicional:
Resposta
A integral indefinida é: