Calcule a integral indefinida utilizando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando frações parciais. O conteúdo principal é decompor uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) em somatório de termos simples, integráveis por meio de logaritmos.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador . Ele se escreve como produto de fatores lineares:
Passo 3
Em seguida propomos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é , temos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por e igualamos polinômios:
Passo 5
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de :
Passo 6
Igualando aos coeficientes de obtemos o sistema:
Passo 7
Da última equação segue A=-1/4. De 2B-2C=0 vem B=C. Substituindo em A+B+C=1 dá -1/4 + 2B =1, logo 2B=5/4 e B=C=5/8.
Passo 8
Portanto a integral vira
integral x^2+1x^3-4x,dx = integrall(-tfrac141x + tfrac581x-2 + tfrac581x+2r)dx
Passo 9
Agora integramos termo a termo usando integral dxx-a=ln|x-a| e integral dxx=ln|x|.