Calcule a integral indefinida utilizando frações parciais:
integral x^2+1x^3-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2+1x^3-4x,dx usando frações parciais. O conteúdo principal é decompor uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) em somatório de termos simples, integráveis por meio de logaritmos.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador x^3-4x. Ele se escreve como produto de fatores lineares:
x^3-4x = x,(x^2-4) = x,(x-2),(x+2)

Passo 3

Em seguida propomos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é x(x-2)(x+2), temos
x^2+1x(x-2)(x+2) = Ax + Bx-2 + Cx+2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+2) e igualamos polinômios:
x^2+1 = A(x-2)(x+2) + B,x(x+2) + C,x(x-2)

Passo 5

Expandindo e agrupando coeficientes em potências de x:
A(x^2-4)+B(x^2+2x)+C(x^2-2x) = (A+B+C)x^2 + (2B-2C)x -4A

Passo 6

Igualando aos coeficientes de x^2+0x+1 obtemos o sistema:
A+B+C = 1, 2B-2C = 0, -4A = 1

Passo 7

Da última equação segue A=-1/4. De 2B-2C=0 vem B=C. Substituindo em A+B+C=1 -1/4 + 2B =1, logo 2B=5/4 e B=C=5/8.

Passo 8

Portanto a integral vira
integral x^2+1x^3-4x,dx = integrall(-tfrac141x + tfrac581x-2 + tfrac581x+2r)dx

Passo 9

Agora integramos termo a termo usando integral dxx-a=ln|x-a| e integral dxx=ln|x|.

Resposta

58ln|x-2| + 58ln|x+2| - 14ln|x| + C

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