Calcule a integral definida utilizando frações parciais:
integral1^2 3 x+5x^3-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1^2 3x+5x^3-4x,dx usando frações parciais. O conteúdo é decomposição de frações racionais e também precisamos tratar que o integrando é impróprio em x=2, ou seja, há uma singularidade no limite superior.

Passo 2

Como x^3-4x = x(x^2-4)=x(x-2)(x+2), fazemos a decomposição
3x+5x(x-2)(x+2) = Ax + Bx-2 + Cx+2
Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+2) e igualando coeficientes ou avaliando em pontos estratégicos, obtemos
  • Para x=0: 5 = Acdot(-2)cdot2 = -4A A=-tfrac54.
  • Para x=2: 11 = Bcdot2cdot4 = 8B B=tfrac118.
  • Para x=-2: -1 = Ccdot(-2)cdot(-4) = 8C C=-tfrac18.
    Logo
3x+5x^3-4x = -541x + 1181x-2 - 181x+2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
F(x)=integral 3x+5x^3-4x,dx = -54ln|x| + 118ln|x-2| - 18ln|x+2| + C
Para a integral definida imprópria, consideramos
limbto2^- l[F(b)-F(1)r]

Passo 4

Ao avaliar em x=1 e mandar xto2^- vemos que o termo 118ln|x-2| tende a -infty. Portanto
integral1^2 3x+5x^3-4x,dx = limbto2^-[F(b)-F(1)] = -infty,
o que significa que a integral diverge.

Resposta

A integral é imprópria e diverge (vai a -infty).

Exercícios relacionados