Calcule a integral indefinida utilizando o método de integração por partes:
integral x^2 cos (5 x) d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^2cos(5x),dx usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher u e dv de forma que du e v sejam fáceis de obter.

Passo 2

Vamos começar escolhendo u = x^2 e dv = cos(5x),dx. Assim derivar u simplifica e integrar cos(5x) é tranquilo. Derivando nós temos du = 2x,dx. Integrando dv obtemos
v = integral cos(5x),dx = 15sin(5x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2cos(5x),dx = u,v - integral v,du = x^2cdot 15sin(5x) - integral 15sin(5x)cdot 2x,dx
Fora da integral, fatoramos constantes:
= x^25sin(5x) - 25integral xsin(5x),dx

Passo 4

Agora precisamos calcular integral xsin(5x),dx. Aplicamos integração por partes de novo, escolhendo u = x e dv = sin(5x),dx. Derivando temos du = dx e integrando:
v = integral sin(5x),dx = -15cos(5x)

Passo 5

Usando a fórmula nessa nova integral:
integral xsin(5x),dx = u,v - integral v,du = xl(-15cos(5x)r) - integral l(-15cos(5x)r),dx = -x5cos(5x) + 15integral cos(5x),dx
E como integral cos(5x),dx = 15sin(5x), concluímos
integral xsin(5x),dx = -x5cos(5x) + 125sin(5x)

Passo 6

Finalmente, voltamos ao resultado principal:
integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) - 25l(-x5cos(5x) + 125sin(5x)r)
Distribuindo e simplificando, obtemos
= x^25sin(5x) + 2x25cos(5x) - 2125sin(5x) + C

Resposta

x^25sin(5x) + 2x25cos(5x) - 2125sin(5x) + C

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