Calcule a integral definida utilizando a regra da substituição:
integral0^1 7 x cdot raiz1+3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 7x,raiz1+3x^2,dx
usando a regra da substituição. O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais, em que identificamos uma parte dentro da raiz cuja derivada esteja (proporcionalmente) presente no integrando.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 1 + 3x^2
Então
du = 6x,dx Longrightarrow x,dx = du6
Como temos um fator 7x,dx, isso vira
7x,dx = 7cdotdu6 = 76,du

Passo 3

Precisamos trocar também os limites. Quando x=0, u = 1 + 3cdot0^2 = 1. Quando x=1, u = 1 + 3cdot1^2 = 4. Substituindo na integral, fica
integral0^1 7xraiz1+3x^2,dx = integralu=1^u=4 76,raizu,du

Passo 4

Agora resolvemos a integral em u. Escrevendo raizu=u^1/2, temos
76integral1^4 u^1/2,du = 76cdotu^3/23/2g|1^4 = 76cdot23,u^3/2g|1^4 = 79,u^3/2g|1^4
Calculando em u=4 e u=1:
4^3/2 = 8, 1^3/2 = 1,
então
79,(8 - 1) = 79cdot7 = 499

Resposta

499

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