Calcule a integral definida utilizando a integração por frações parciais:
(a)
integral4^5 19-x^2 d x
(b)
integral1^5 x-1x^2(x+1) d x
(c)
integral0^1 x^3x^2-2 d x
(d)
integral1^2 x^3-2 x^2+1x^2-3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por frações parciais (e divisão de polinômios quando for o caso), as seguintes integrais definidas:
(a) integral4^519 - x^2,dx
(b) integral1^5x - 1x^2(x + 1),dx
(c) integral0^1x^3x^2 - 2,dx
(d) integral1^2x^3 - 2x^2 + 1x^2 - 3x,dx
Vamos em cada caso decompor em frações simples (ou dividir polinômios) e integrar termo a termo.

Passo 2

Para (a) escrevemos
19 - x^2 = 1(3 - x)(3 + x) = A3 - x + B3 + x
Daí
A(3 + x) + B(3 - x) = 1 implies A - B = 0, 3(A + B) = 1 implies A = B = 16
Logo
integral 19 - x^2,dx = 16integral!l(13 - x + 13 + xr)dx = 16l(-ln|3 - x| + ln|3 + x|r) + C
Avalia-se de 4 a 5:
F(x)=16l(ln|3 + x|-ln|3 - x|r),
F(5)-F(4) =16l(ln(8)-ln(2)r) -16l(ln(7)-ln(1)r) =16l(ln4-ln7r) =16ln!l(tfrac47r)

Passo 3

Para (b) fazemos
x - 1x^2(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + 1
Multiplicando por x^2(x+1)
A,x(x+1)+B(x+1)+C,x^2=x-1 implies (A+C)x^2+(A+B)x+B = x-1
Igualando coeficientes:
A+C=0, A+B=1, B=-1 implies A=2,;B=-1,;C=-2
Assim
integralx-1x^2(x+1)dx =integrall(2x-1x^2-2x+1r)dx =2ln|x|+1x-2ln|x+1|+C
De 1 a 5:
l[2ln x+tfrac1x-2ln(x+1)r]1^5 =2ln5+tfrac15-2ln6 -l(0+1-2ln2r) =2ln!l(tfrac53r)-tfrac45

Passo 4

Para (c) observamos grau do numerador maior que do denominador e dividimos:
x^3x^2-2 = x + 2xx^2-2, integral x,dx = x^22, integral 2xx^2-2dx = lnl|x^2-2r| + C
Logo
F(x)=x^22+lnl|x^2-2r|
De 0 a 1:
F(1)-F(0) =l(tfrac12+ln|-1|r) -l(0+ln2r) =tfrac12 - ln2

Passo 5

Para (d) dividimos primeiro:
x^3-2x^2+1x^2-3x = x+1+3x+1x(x-3)
Então
3x+1x(x-3)=Ax+Bx-3, 3x+1=A(x-3)+B,x implies A=-tfrac13,;B=tfrac103
A integral fica
integrall(x+1 -13x + 103(x-3)r)dx =x^22+x -13ln|x| + 103ln|x-3| + C
De 1 a 2:
l(tfrac2^22+2 -tfrac13ln2r) - l(tfrac12+1 + tfrac103ln2r) = 52 - 113ln2

Resposta

(a) 16ln!l(tfrac47r)
(b) 2ln!l(tfrac53r);-;tfrac45
(c) tfrac12 ;-;ln2
(d) tfrac52;-;tfrac113ln2

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