S-3.1 Mostre que todo número inteiro não nulo a se escreve de modo único na forma a=2^r b, onde r in N e b é um número ímpar. O número 2^r é a maior potência de 2 que divide a. Generalize esta propriedade para um primo p qualquer no lugar de 2 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que dado qualquer inteiro não nulo a existe e é único um inteiro r>=0 e um inteiro b ímpar tais que
a = 2^r,b,
e que 2^r é a maior potência de 2 que divide a. Em seguida, devemos estender a mesma ideia para um primo genérico p. O conteúdo aqui é a noção de divisibilidade e de “ordem de p-adicidade” (ou valuation).

Passo 2

(Existência) Definimos recursivamente uma sequência de quocientes dividindo por 2 sempre que o resultado for par. Mais precisamente, seja
a0 = a, ak+1 = ak2
sempre que ak for par. Como l|akr| diminui estritamente a cada divisão, essa divisão não pode continuar indefinidamente sem chegar a um número ímpar. Logo, existe um rinN tal que ar é ímpar, e chamamos b = ar. Por construção,
a = 2^r,b
com b ímpar.

Passo 3

(Terminação) A cada passo, l|ak+1r| = l|akr|/2. Se nunca atingíssemos um ak ímpar, teríamos uma sequência infinita de inteiros positivos estritamente decrescentes, o que é impossível. Daí a divisão para.

Passo 4

(Unicidade) Suponha que também exista outra escrita
a = 2^r',b',
com b' ímpar. Sem perda de generalidade, digamos r'>= r. Então
2^r,b = 2^r',b'Longrightarrow b = 2^r'-r,b'
Como b' é ímpar, o produto 2^r'-rb' só pode ser ímpar se r'-r=0. Logo r'=r e então b'=b. Isso prova a unicidade de r e b.

Passo 5

(“Maior potência”) Pelo fato de b ser ímpar, nenhuma potência maior que 2^r pode dividir a. De fato, se 2^r+1mid a, então a=2^r+1c e isso forçaria b=2c, contradizendo a imparidade de b.

Passo 6

(Generalização para um primo p) Substitua o “2” por um primo arbitrário p. O mesmo argumento vale: basta dividir repetidamente a por p até que o quociente não seja mais múltiplo de p. Assim, existe e é único rinN e binZ tais que
a = p^r,b com pnmid b,
e p^r é a maior potência de p que divide a.

Resposta

Para todo primo p e todo inteiro não nulo a, existe único rinN e inteiro b tal que
a = p^r,b e pnmid b,
e p^r é a maior potência de p que divide a.

Exercícios relacionados