Calcule a integral:
integral raiz5+4 x-x^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral raiz5+4x - x^2,dx. O conteúdo é integração de raiz de um polinômio quadrático, e vamos precisar completar o quadrado para transformar a expressão dentro da raiz em a^2 - (x-h)^2 e depois usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 5+4x - x^2. Observe:
5+4x - x^2 = -(x^2 -4x -5) = -l[(x-2)^2 -9r] = 9 - (x-2)^2

Passo 3

Fazendo a mudança de variável u = x - 2, temos du = dx e a integral passa a ser
integral raiz9 - u^2,du

Passo 4

Para integrar integral raiz9 - u^2,du usamos a substituição trigonométrica u = 3sintheta. Então:
u = 3sintheta, du = 3costheta,dtheta, raiz9-u^2 = 3costheta

Passo 5

A integral fica
integral 3costheta cdot 3costheta,dtheta = 9 integral cos^2theta,dtheta

Passo 6

Aplicando a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2,
9 integral cos^2theta,dtheta = 92 integral (1+cos2theta),dtheta = 92l(theta + tfrac12sin2thetar) + C

Passo 7

Voltando para u e x: temos theta = arcsin(tfracu3) e sin2theta = 2sinthetacostheta = 2u3raiz9-u^23. Substituindo tudo de volta e lembrando u = x-2 e raiz9-u^2 = raiz5+4x - x^2, chegamos ao resultado abaixo.

Resposta

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