Calcule a integral
Dica: Abra a fração com polinômio em fatores lineares.
integral 1sen(x) cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1senx,cos x,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções trigonométricas em forma de fração, e a dica sugere decompor essa fração em parcelas mais simples usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Percebemos que sen^2x+cos^2x=1, então podemos escrever:
1senx,cos x =sen^2x+cos^2xsenx,cos x =sen^2xsenx,cos x+cos^2xsenx,cos x =senxcos x+cos xsenx =tan x+cot x

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  • Para integral tan x,dx, fazemos a substituição u=cos x, de onde du=-sin x,dx. Isso leva a: integral tan x,dx=integral sin xcos x,dx=-ln|cos x|+C1
    - Para integral cot x,dx, fazemos u=sin x, de onde du=cos x,dx. Assim:
    integral cot x,dx=integral cos xsin x,dx=ln|sin x|+C2

Passo 4

Somando as duas integrais e unificando a constante C=C1+C2, obtemos
integral 1senx,cos x,dx= -ln|cos x|+ln|sin x|+C=lnl|sin xcos xr|+C=ln|tan x|+C

Resposta

ln|tan x|+C

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