Calcule a integral
Dica: Abra a fração com polinômio em fatores lineares.
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador. Notamos que
se escreve como o produto de fatores lineares:
Passo 3
Com o denominador em fatores lineares, propomos a decomposição em frações parciais:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade:
Passo 5
Para encontrar
e
, basta escolher valores convenientes de
:
- Se
, temos , logo . - Se
, temos , logo
Passo 6
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Separamos em duas integrais mais simples:
Passo 8
Aplicando
, obtemos:
Passo 9
Podemos ainda juntar os logaritmos em um só: