Calcule a integral
Dica: Abra a fração com polinômio em fatores lineares.
integral 1x^2+x-2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral 1x^2+x-2,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador. Notamos que x^2+x-2 se escreve como o produto de fatores lineares:
x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

Passo 3

Com o denominador em fatores lineares, propomos a decomposição em frações parciais:
1(x+2)(x-1) = Ax+2 + Bx-1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-1), obtemos a identidade:
1 = A(x-1) + B(x+2)

Passo 5

Para encontrar A e B, basta escolher valores convenientes de x:
  • Se x = 1, temos 1 = A(0) + B(3), logo B = tfrac13.
  • Se x = -2, temos 1 = A(-3) + B(0), logo A = -tfrac13

Passo 6

Portanto, a integral fica:
integral 1x^2+x-2,dx = integral l(-tfrac13cdot1x+2 + tfrac13cdot1x-1r),dx

Passo 7

Separamos em duas integrais mais simples:
= -tfrac13 integral 1x+2,dx + tfrac13 integral 1x-1,dx

Passo 8

Aplicando integral 1x+a,dx = ln|x+a| + C, obtemos:
= -tfrac13ln|x+2| + tfrac13ln|x-1| + C

Passo 9

Podemos ainda juntar os logaritmos em um só:
= 13 lnl|x-1x+2r| + C

Resposta

13lnl|x-1x+2r| + C

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