As funções a seguir, que se supõem ser periódicas e de período 2 pi, são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares?

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2pi definida por f(x)=x|x|-x^3 em (-pi,pi) e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nem uma coisa nem outra. Vamos usar conceitos de paridade para decidir.

Passo 2

Uma função f é par se satisfazermos f(-x)=f(x) para todo x, e é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x. Observe que a função valor absoluto é par, isto é, |-x|=|x|. Então, ao calcularmos f(-x) temos
f(-x)=(-x),| -x| -(-x)^3 = -x,|x| + x^3,

Passo 3

mas note que
-f(x)= -l(x|x|-x^3r) = -x|x| + x^3 Portanto f(-x)= -f(x) em todo o domínio, o que mostra que f é uma função ímpar.

Resposta

A função é ímpar.

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